Tôn Tử toán kinh 孫子算經 • Bài đếm quân của Tôn Tử • 韓信點兵 • Hàn Tín điểm binh

Bài thơ này có nhiều tên gọi như Điểm binh pháp 點兵法, Hàn Tín điểm binh 韓信點兵, Tôn Tử định lý 孫子定理, Quỷ Cốc toán 鬼谷算, Cách tường toán 隔墻算, Tiễn quản thuật 剪管術, Tần vương điểm binh 秦王暗點兵, Vật bất tri số 物不知數, ngày nay được gọi là Định lý số dư Trung Hoa (Chinese remainder theorem). Đây thực chất là một khẩu quyết dân gian để ghi nhớ thuật giải bài toán về hệ phương trình đồng dư, nên ý nghĩa của các câu thơ không thực sự quan trọng, mà là các số xuất hiện trong bài, và dựa vào các tích về Hán Tín hay Tôn Tử và dùng các số gắn với các ý nghĩa thực tế để cho dễ nhớ.

Ý nghĩa toán học của bài thơ là giải bài toán Tìm số nhỏ nhất x sao cho khi đếm theo nhóm 3 người dư a, nhóm 5 người dư b, nhóm 7 người dư c. Để giải bài toán này, ta tìm các số chốt:
- 70 là số nhỏ nhất chia hết cho cả 5 và 7, nhưng chia cho 3 dư 1: 35 × 2 = 70 ≡ 1 (mod 3)
- 21 là số nhỏ nhất chia hết cho cả 3 và 7, nhưng chia cho 5 dư 1: 2 ≡ 1 (mod 5)
- 15 là số nhỏ nhất chia hết cho cả 3 và 5, nhưng chia cho 7 dư 1: 15 ≡ 1 (mod 7)
- 105 là bội số chung nhỏ nhất của 3, 5, 7 (3 × 5 × 7 = 105).
- Tính tổng = (a × 70) + (b × 21) + (c × 15). Sau đó lấy tổng này chia cho 105 lấy số dư (hoặc liên tục trừ đi 105 cho đến khi được số nhỏ hơn 105).

Thuật tính này được ghi nhận đầu tiên trong sách cổ Tôn Tử toán kinh 孫子算經 vào thời Tuỳ Đường ở dạng văn xuôi, có tên gọi bài toán là Vật bất tri số 物不知數 (Vật không biết số lượng): “Kim hữu vật, bất tri kỳ số. Tam tam số chi, thặng nhị; ngũ ngũ số chi, thặng tam; thất thất số chi, thặng nhị. Vấn vật kỷ hà?” (Nay có một số vật không biết bao nhiêu. Đếm mỗi lần 3 cái thì thừa 2; đếm mỗi lần 5 cái thì thừa 3; đếm mỗi lần 7 cái thì thừa 2. Hỏi có mấy vật?). Đáp số là 23.

Thời Nam Tống, Chu Mật 周密 (1232-1298) ghi lại phiên bản thơ đầu tiên trong cuốn Trí Nhã Đường tạp sao 志雅堂雜抄. Năm 1247, nhà toán học Tần Cửu Thiều 秦九韶 trong cuốn Số thư cửu chương 數書九章 đã hoàn thiện bài toán thành phương pháp tổng quát gọi là Đại diễn cầu nhất thuật 大衍求一術, đây chính là nền tảng của Định lý số dư Trung Hoa trong toán học hiện đại.

Năm 1592, nhà toán học Trình Đại Vị 程大位 (1533-1606) đã hoàn thiện và đúc kết thành bài thơ 4 câu trong cuốn Toán pháp thống tông 算法統宗. Nhờ cuốn sách này phổ biến rộng rãi, bài thơ trở thành khẩu quyết thuộc lòng của các thương nhân, sĩ tử và nhân dân thời bấy giờ. Trong dân gian, bài thơ và thuật toán này còn gắn liền với giai thoại về danh tướng Hàn Tín thời Hán, với giai thoại khi điểm quân, Hàn Tín không đếm từng người mà cho quân xếp hàng 3, hàng 5, hàng 7 rồi nhìn số quân lẻ thừa ra ở cuối hàng là tính ngay ra tổng số quân sĩ.

Ngoài bản phổ biến nhất ở trên từ sách của Trình Đại Vị, bài thơ còn có nhiều dị bản được lưu truyền:
- Bản chép trong Trí Nhã Đường tạp sao của Chu Mật:

三歲孩兒七十稀，
五留廿一事尤奇。
七度上元重相會，
寒食清明便可知。

Tam tuế hài nhi thất thập hy,
Ngũ lưu chấp nhất sự ưu kỳ.
Thất độ thượng nguyên trùng tương hội,
Hàn thực, thanh minh tiện khả tri.

Đứa trẻ ba tuổi, bảy mươi tuổi thì hiếm,
Chia 5 còn dư 1 thì nhân 21, chuyện thật kỳ lạ,
Bảy lần gặp lại vào tết thượng nguyên (ngày 15 tháng giêng),
Đến tiết hàn thực, thanh minh thì sẽ biết.

- Bản chép trong Ý Trai toán pháp nhất đắc lục 意齋算法一得錄 (sách viết tay, 1829, mã A.3665, Thư viện Viện nghiên cứu Hán Nôm) của Nguyễn Hữu Thận 阮有慎 (1757-1831) được phổ biến ở Việt Nam:

三人同行七十稀，
五樹梅花廿一枝。
七子團圓秋夜月，
百零五壽定爲期。

Tam nhân đồng hành thất thập hy,
Ngũ thụ mai hoa chấp nhất chi.
Thất tử đoàn viên thu dạ nguyệt,
Bách linh ngũ thọ định vi kỳ.

Ba người đồng hành hiếm được bảy mươi,
Năm cây hoa mai có hai mươi mốt cành.
Bảy người con đoàn viên đêm trăng thu,
Trăm linh năm được đến kỳ thượng thọ.